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谢尔宾斯基问题 编辑
谢尔宾斯基数问题是处理符合如下形式的数字:N=k*2^n+1(对于奇数k和n>1)具有这样形式的数字被称为普罗斯数(Prothnumbers)。对于一个特定的值k,取任意的n都可以使N成为一个合数(Compositenumbers)那么这个k就可以称为是一个谢尔宾斯基数(Sierpinskinumber)。谢尔宾斯基问题本身是:“什么是最小的谢尔宾斯基数?”。约翰·塞尔弗里奇(JohnSelfridge)40年前曾经证明k=78557是一个谢尔宾斯基数。大多数数学家相信它就是最小的,但这一点还未得到证明。为了证明它,我们所需要做的就是证明每个更小的k都不是谢尔宾斯基数——也就是说,要对每一个k
(1)是否存在谢尔宾斯基数k,使得对于任何s个素数p1,p2,...ps,都存在一个自然数m,使得k*2^m+1与p1p2...ps互素?
(2)寻找最小的谢尔宾斯基数k0,即,求出最小的正奇数k0,使得k0*2^m+1对于每一个自然数m都是合数。
关于问题(2)有如下一些结论:
1962年数学家赛尔弗利奇发现下面两个重要事实:1。形如78557*2^m+1的数总能被3,5,7,13,19,37,73之一整除,即78557是谢尔宾斯基数;2。对于k<383,必存在形如k*2^m+1素数,即当k<383时,不存在谢尔宾斯基数,这两个结论表明:最小谢尔宾斯基数k0满足:
383=<78557
1983年,杰斯基在赛尔弗利奇的基础上又作了深入的研究,在小于78557的自然数中寻找到91个谢尔宾斯基数,其中最小的一个是3061,于是,有:383=<3061
最小谢尔宾斯基数的范围被大大地缩小了。
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