换底公式 编辑

换底公式换底公式

换底公式是高中数学常用对数运算公式,可将多异底对数式转化为同底对数式,结合其他的对数运算公式一起使用。计算中常常会减少计算的难度,更迅速的解决高中范围的对数运算。

基本信息

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中文名:换底公式

使用特点:寻找特殊值、换对对数

适用范围:对数的计算、高中数学

外文名:base changing formula for logarithms

适用学科:数学、计算机编程、建筑工程

公式成立条件:对数的底均大于零且不等于1

基本简介

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对于,有

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推导过程

法一:若有对数,设

则根据对数的基本公式,可得

换底公式换底公式

则有

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证毕。

法二:若有对数,则,且

换底公式换底公式

于是

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两边取以c为底的对数得,即

证毕。

法三:若有对数,则,且,于是

换底公式换底公式

换底公式换底公式

从而

换底公式换底公式

证毕。

推论

下面给出若干推论。由换底公式,易知

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指数函数换底公式

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在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法,其原理就是指数函数的换底,把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。

这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。

应用

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通常在处理数学运算中,将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数,方便运算;有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题;

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮,但却没有的。要计算,你只有计算(或,两者结果一样);

工程技术

在工程技术中,换底公式也是经常用到的公式。

例如,在编程语言中,有些编程语言(例如C语言)没有以a为底b为真数的对数函数,只有以常用对数(即以10为底的对数)或自然对数(即e为底的对数)。此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数,表示出以a为底b为真数的对数表达式,从而处理某些实际问题。

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