Kähler-Einstein度量存在性问题

1989年，田刚利用他先前引进的不变量以及他发展的部分连续模估计，彻底解决了复曲面上的Calabi问题。田刚首先给出例子说明，即使没有非零全纯向量场也有可能不存在Kähler- Einstein度量。1996年，利用他与丁伟岳教授合作定义的全纯不变量，田刚引进了K稳定的概念，证明流形上存在Kähler-Einstein度量的Fano流形必须是K稳定的。之后K稳定的概念得到进一步发展并推广到任意极化的Kähler流形，成为代数几何重要的概念之一。

2012年10月，田刚率先宣布解决了K-稳定Fano流形上Kähler-Einstein度量的存在性问题并给出了证明概要。解决这个长期未决的重大问题的关键技术途径是在锥Kähler-Einstein空间情形建立田刚早先猜测的部分连续模估计，而建立这一关键估计的主要方法是推广Cheeger-Colding-Tian有关Kähler-Einstein流形的紧化理论。田刚的证明综合应用了众多理论，涉及到很多数学分支，比如微分几何、代数几何、偏微分方程、多复分析、度量几何等，特别是其证明将这些领域联系在一起，将完善并推动这些学科的发展。

2015年，田刚率先解决K-稳定Fano流形上Kähler-Einstein度量存在性问题（即Fano情形的YTD猜想）论文已在数学期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）上发表 。

量子上同调理论

田刚与阮勇斌合作，建立了量子上同调理论的严格数学基础，首次证明了量子上同调的可结合性，它使得原来形式上的计算有了严格数学意义。在田刚与阮勇斌的研究工作之前，拓扑σ模型及其应用在数学上是不严格的。田刚与阮勇斌的主要贡献是提出了一个新的不变量，这个不变量包含了已知的Gromov不变量，以及Witten的拓扑σ模型在数学上隐含的不变量，现称之为Gromov-Witten不变量。他们并且给出了Gromov-Witten不变量所诱导的量子上同调乘积的结合律的严格数学证明。

田刚与李骏合作，用代数方法，在具有0特征或充分大特征的代数闭域上的非异射影子族中定义了类似的不变量；并给出了一般的紧辛流形上Gromov-Witten不变量的严格定义（推广了田刚和阮勇斌的工作）。

田刚还与刘刚合作，解决了辛几何Arnold猜想的非退化情形。Arnold猜想起源于Poincare有关环面保面积映射的固定点定理（这一定理由Birkhoff证明），在辛几何的发展中有重要影响 。

高维Yang-Mills联络

田刚在高维规范场数学理论研究中，建立了自对偶Yang-Mills联络与标度几何间的深刻联系。田刚建立了高维Yang-Mills联络模空间的紧化定理。实际上，他研究了包括自对偶Yang-Mills联络，Hermitian-Yang-Mills联络等经典场方程在内的一般自对偶联络，导出了单调不等式，证明能量集中集是m-4维可求长集合，而且由广义的极小闭链组成。特别地，Hermitian-Yang-Mills联络能量集中集是全纯闭链，Spin（7）方程能量集中集是Cayley闭链。他还与陶哲轩（Terence Tao）证明了高维Yang-Mills方程的可去奇点定理 。

四维流形的研究

四维流形中，Einstein度量比常曲率度量多得多。无论是研究Einstein度量的存在性还是研究Einstein度量的模空间，都要理解它的退化情况。田刚与Cheeger在这方面做了开创性的研究。他们利用“能量”（曲率平方积分）控制度量退化点数，证明了小能量正则性，给出了流形塌缩时体积的下阶估计。这些结果以及他们在研究中提出的克服流形倒塌所带来巨大困难的新技术在四维Einstein流形的研究中具有一定的意义。

退化复Monge-Ampere方程

田刚与陈秀雄合作，利用全纯圆盘的叶化，建立了退化复Monge-Ampere方程部分正则性的理论，利用之证明了Kaehler极值度量的唯一性。这项研究在Kaehler几何，非线性偏微分方程，与无穷维黎曼流形中都有一定的意义 。

教育理念

田刚认为：应该尽量地创造一个宽松的环境让年轻人能够更安心、更好地来做学问。要建立这样的环境需要对学问要有足够的尊重，要以学问为重，以学术标准为判断一个年轻人做得好坏的唯一标准。做得好的学者一定要注意多给年轻人创造机会，而不是仅从自己的研究出发，让年轻人做些添砖加瓦的工作，更重要的是让他们自己能独立出来，更快更好地发展。年轻人一定要能够安心地做事儿，不要跟潮流，要独立思考，积极地努力，争取做好的结果、原创性的结果。而不是跟着别人后面去捡一些便宜 。

研讨讲座

1990年以后，田刚一直参加每年暑期由北京大学和中国科学院组织的“几何分析”研讨班——这个讨论班的前身就是张恭庆所创立的“非线性分析讨论班”。1991年开始，田刚受聘为北京大学和南京大学的教授，自那以后，他每年都会回国工作一段时间。起初，每年只能回来一两个月，主要通过举办讨论班和讲课的形式向中国国内的年轻人介绍中国国外的研究动态，还先后参加了诸如1993年在四川大学举行的全国暑期学校、1996年的北京大学暑期学校之类一系列的活动，这些服务都是无偿的 。

特别数学讲座

1998年，田刚向北京大学提议创办“特别数学讲座”，组织一批高水平的留美中国数学家回国讲学，把世界数学最前沿信息介绍给中国国内的学子。经过3个多月的准备，首期讲座于1998年12月开办，4位海外数学家与田刚一起飞赴北京大学讲学 。

数学夏令营

1999年7月，田刚在参加国家自然科学基金委的一次评审会时，他注意到中国要成为数学强国，就必须更加重视基础教育和数学后备力量的培养。为此，他建议借鉴前苏联一些中学数学教育的经验，在中国举办数学夏令营，邀请优秀数学家向热爱数学的中学生们讲授有趣、有益的数学，培养中学生对数学的兴趣，拉近青少年与数学之间的距离。2000年，在国家自然科学基金委天元基金的支持下，夏令营就开营了，田刚也亲自为参加那次夏令营的中学生们作了一场科普讲座 。

北京国际数学研究中心

2003年，田刚就与北京大学数学科学学院的领导开始筹划在未名湖北岸建立一个具有中国特色的、国际化的数学中心，其宗旨是面向世界，发展中国数学。2005年，北京国际数学研究中心（简称BICMR）的立项获得国家批准，田刚担任中心主任。在田刚与同仁的努力下，BICMR摸索建立起了一整套新的工作机制，凝聚了一批优秀学者。在田刚的号召力之下，很多名家如Bismut，Singer，Daubechies，Graham等都想到中心来看看，而他们也为中国国内的数学研究带来了最前沿的信息 。

西湖大学理论科学研究院首任院长致辞

2020年9月，作为西湖大学理论科学研究院首任院长，田刚在致辞中介绍了研究院初期发展和建设的重点工作。我想当务之急还是人才队伍建设，不仅要有领衔的科学家，更要建立起一支以青年学者为主力的人才队伍，吸引有才华的年轻人加入我们的事业，为未来的进一步建设打下坚实的基础。田刚透露，研究院将于近期启动青年人才招聘工作，希望能够比较快地组建起一支理论研究的生力军。

指导学生

截至2020年，田刚指导过的来自世界各地的博士及博士后超过百位。

荣誉表彰

兴趣爱好

1978年，田刚报考大学时的第一志愿不是数学，而是物理 。田刚喜欢中国古典文学和中国历史。在田刚的家里，还摆放着一套《二十四史》。他读过《史记》《资治通鉴》，张骞是他最佩服的历史人物 。读书期间，田刚始终没有放弃自己的爱好：爬山 。

田刚丘成桐事件

2005年，丘成桐公开批评北京大学数学学院教授、他曾经的学生田刚，指其涉嫌学术造假和窃取他人学术成果。事件随后在网上发酵成一场舆论大战，涉及中国的学术腐败、学术道德标准等问题 。