代数方程，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和根式方程。例如：5x+2=7，x=1等。 代数，把algebra翻译成代数，就是用字母代替数的意思，继而推广。随着数学的发展，内在涵义又推广为用群结构或各种结构来代替科学现象中的各种关系。也就是说“代数”本质是个“代”字，通过研究各种抽象结构“代替”直接研究科学现象中的各种关系。

从字面上看，代数式与代数方程只差了“式”与“方程”，本质却不同。代数式是用基本的运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子。这样代数式的变形与代数方程的变形就有了本质的区别。代数式的变形是恒等变形。恒等变形的理论依据是运算法则、运算性质、添括号去括号法则、因式分解的几种方法等。而代数方程的变形则是同解变形。

（1）整式方程

（2）分式方程

2、根式方程

1770—1771 年拉格朗日发表了一篇长达217页的论文 Réflexions sur la Résolution algébrique deséquations，在这篇文章中拉格朗日总结了前人求解代数方程的各种方法并提出了自己的观点。拉格朗日对代数方程求解的主要贡献是:

1)提出了辅助方程理论即求解二次方程时需要预解一个一次的辅助方程，求解三次方程时需要预解一个二次的辅助方程，求解四次方程时需要预解一个三次的辅助方程;对于解二次方程，其辅助方程的解为原二次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取一个值;对于解三次方程，其辅助方程的解为原三次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取两个值;对于解四次方程，其辅助方程的解为原四次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取三个值;因此，解方程最为关键的一步就是解原方程的辅助方程，那么在解五次方程时如果能预解一个四次的辅助方程，那么原五次方程也许就可解;进而解一个n次的方程，如果能预解一个n-1次的辅助方程，则原次方程或许就可解。

2)提出了用置换的思想进行代数方程求解，并提出预解式的概念，即:解代数方程实际是要求解它的辅助方程，因此需要寻找一个预解式，该预解式在原方程根的置换下取到的不同值的个数即为辅助方程的次数。如果能找到合适的预解式，那么就得到了辅助方程(在这里辅助方程的系数可由原方程的系数表示)，解答了辅助方程就可以顺利地得到原方程的解。

拉格朗日用置换的思想进行代数方程求解是代数方程求解史中一个伟大的转折点，它开辟了代数方程求解的新纪元。他彻底改变了人们的思维，使数学家从单纯地寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的、通用的方法——置换的思想进行方程求解;拉格朗日得出了一系列重要的代数知识，比如域的概念、置换群概念的雏形这些知识被以后的数学家鲁菲尼、高斯、阿贝尔、伽罗瓦等恰当的运用使代数方程求解问题最终得以解决，并推动了代数学本身的发展。所以，拉格朗日的工作对以后的代数学家产生了巨大的影响，直至今日还有很多的数学家在研读拉格朗日的著作。