奇偶性 编辑

奇偶性奇偶性

奇偶性是函数的基本性质之一。一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数。一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。

基本信息

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中文名:奇偶性

外文名:parity

类别:函数的性质

奇函数:关于原点成中心对称图形

偶函数:图象关于y的轴对称

用途:判断函数单调性

定义

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设函数f(x)的定义域D;

⑴如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

⑵如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

⑶如果对于函数定义域D内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

变式:奇:f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); f(x)/f(-x)=-1.

偶:f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); f(x)/f(-x)=1.

图像特征

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定理:奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴对称。

推论:如果对于任一个x,都有f(a+x)+f(b-x)=c,那么函数图像关于(a/2+b/2,c/2)中心对称;

如果对于任意一个x,有f(a+x)=f(a-x),那么函数图像关于x=a轴对称。

奇函数的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

偶函数的图像关于y轴对称

点(x,y)→(-x,y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递 增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

运算

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⑴ 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

⑵ 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

⑶ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

⑷ 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

⑸一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

⑹几个函数复合,只要有一个是偶函数,结果是偶函数;若无偶函数则是奇函数。

⑺偶函数的和差积商是偶函数。

⑻奇函数的和差是奇函数。

⑼奇函数的偶数个积商是偶函数。

⑽奇函数的奇数个积商是奇函数。

⑾奇函数的绝对值为偶函数。

⑿偶函数的绝对值为偶函数。

判断单调

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偶函数在对称区间上的单调性是相反的。

奇函数在整个定义域上的单调性一致。

误区警示

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判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称。一个函数是奇函数或偶函数,其定义域必须关于原点对称。

奇偶数

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一个数满足xmod2=1,那么它是奇数;

一个数满足xmod2=0,那么它是偶数。

注:mod 是余数的意思。 例如:m=xmod2 ,x=7的话,m=1

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