无理方程就是根号下含有未知数（被开方数是含有未知数）的方程，无理方程又叫根式方程。有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程。解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程。

求解此类方程很重要的一点是定义域，要注意验根。

中文名：无理方程

特点：根号下含有未知数的方程

易错点：验根，排除不合理的增根

外文名：Irrational equation

常用方法：平方法、换元法等

别名：根式方程

被开方式中含有未知数的方程是无理方程，无理方程的一般解法是把方程有理化，转化为有理方程求解。

①移项平方：将根号移向一边，其余均在另一边，平方即去掉根号，转成整式方程；

②解整式方程；

③代回原方程验证，满足定义域即可，反之舍掉。

注意点：求定义域要考虑两方面：根号下非负，移项后左右两边均非负。即如，移项后得平方去根号得，所以，所以得故其定义域应满足，即，原方程的根只有一个，即1。

判断一个方程是否是无理方程，只看形式上是否同时符合无理方程定义中的两个条件：①含根式；②被开方数中含有未知数。

例1下列无理方程中，有实数解的是（  ）。

①②

③④

⑤⑥

解:第①小题，方程左边大于等于0，而右边小于0．所以无解。

第②小题，两边平方可求得方程的根为x=-2；

第③小题，解无理方程是在实数范围内进行，故要使二次根式有意义，须且只能等于2，因而方程左边等于0，而右边等于1，两边不等，所以无解。

第④小题，同第③小题，要使根式有意义，只能等于2，而当时，方程左右两边相等，因而方程有解。

第⑤小题，根据实数的非负性，可求得

第⑥小题，同第③小题．要使二次根式有意义，有且即且所以无解。

所以，有实数解的是②④⑤。

注意：判断一个无理方程无解的方法主要是借助两个实数的非负性，即(二次)根式的被开方数非负(内非负)，如⑥；二次根式的值非负(外非负)，如①、③用到了内非负，但也用到了别的原则。

解无理方程的基本思想和步骤：

无理方程的解法，主要是运用“化归的数学思想”将它化为有理方程，基本方法是“两边平方”，这一步不是同解变换，所以必须验根．有时还用“换元法”和其他一些技巧。后面将要提到的换元法、观察法等，实际上最后都离不开“两边平方”。

“两边平方”法

“两边平方”法一般步骤：

①两边平方，把原方程化为有理方程；

②解这个有理方程，

③验根并作答：将解得的根代入原无理方程检验。

(2)验根问题：

无理方程的验根和分式方程不同．验根时不但要将它代入根式内，检验被开方是否非负；还要代入整个方程，检验它是否适合等式．例如下列例题的第(1)小题，代入根式是有意义的，但代入方程，两边不相等，所以还是增根。

例2解下列关于的无理方程：

解:(1)两边平方，整理得

解得

经检验，代入方程中不合理，故是原方程的增根，舍去。

所以，原方程的根是

(2)两边平方，整理得

解得

经检验，是原方程的增根，舍去。

所以，原方程的根是。

换元法

例3解方程：。

解：设，则原方程可变成

(1)当时，所以无解。

(2)当时，

这是解无理方程的第二种解法——换元法。

用换元法解无理方程的一般步骤：

(1) 观察、分析方程的特点，寻求换元简捷途径，设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

(2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

(3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原方程未知数的值；

(4) 检验并作答。

换元法通常用于“两边平方”法无法解决或难以解决的时候(得到的有理方程是高次方程)，也常用于“两边平方”法虽可以解决，但比较繁琐的情形。

无论用什么方法解无理方程，验根都是必不可少的重要步骤。