命题

命题的定义：一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。

互逆命题

互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。

逆否命题

逆否命题的定义：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。

图1

（2）否命题与原命题互否；

（3）原命题与逆否命题相互逆否；

（4）逆命题与否命题相互逆否；

（5）逆命题与逆否命题互否；

（6）逆否命题与否命题互逆 。

这四种命题的真假关系如下表所示：

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）。由此，可以引出等价命题的概念，从而有：互为逆否的两个命题是等价命题。

注意等价命题并不对要比较的两个命题的真伪性做讨论， 只是对两个命题的相互关系做讨论，即两个假命题也可以相互等价。例如：命题 A：3>5，命题 B：2<0 ，那么这两个命题就是等价的， 运用简单的不等式知识， 这两个命题可以互推。等价性的本质是在一定的范围内讨论两个命题的相同性，即他们是相同或是不同的（等价或不等价的）。

一般，原命题与其逆否命题互为等价命题 。

产生等价命题 （或问题） 经常通过以下几种途径： 更换等价的条件 （或已知） 和结论（或所求）；通过适当的代换；利用原命题与逆否命题的等价关系。

（1）利用等价命题判断充要性：对于以否定形式给出的数学命题，若直接判定语句之间的充要关系难度较大，可根据原命题与其逆否命题等价，判断其逆否命题，则问题可迎刃而解。

（2）利用命题的等价关系进行同解变形：在数学中， 存在许许多多具有等价性的问题， “同解变形” 是解题的最基本的方法， 如解方程和不等式的过程本身就是一个同解转化的过程。

（3）利用命题的等价关系实现“正难则反”：如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决，即所谓的反证法．反证法正是基于原命题与其逆否命题等价的思想。如：证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现 （如： 不存在、 不相交等），并伴有 “至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化。

（4）利用命题的等价关系实现数形转换：数形结合的思想就是把问题的数量关系和几何图形结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决。

等价转化是一种重要的数学思想，数学问题的求解过程事实上是一个不断转化的过 程，这种过程体现了“把未知解法的问题化归到在已有知识范围内可解”的求解策略。化归转化分等价转化与非等价转化两种情况。当转化过程中的前因后果是既充分又必要时，则称这种转化为等价转化。