洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中两个作相对匀速运动的惯性参考系（S和S′）之间的坐标变换，是观测者在不同惯性参考系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家H·洛伦兹而得名。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。

中文名：洛伦兹变换

外文名：Lorentz transformation

适用范围：数学，物理

类别：坐标变换

式中

公式

其中x、y、z、t分别是惯性坐标系S下的坐标和时间，x'、y'、z'、t'分别是惯性坐标系S'下的坐标和时间。v是S'坐标系相对于S坐标系的运动速度，方向沿X轴。

由狭义相对性原理，只需在上述洛伦兹变换中把v变成－v，x'、y'、z'、t'分别与x、y、z、t互换，就得到洛伦兹变换的反变换式：

公式

洛伦兹变换是高速运动的宏观物体在不同惯性参考系之间进行坐标和时间变换的基本规律。当相对速度v远小于光速c时，洛伦兹变换退化为经典力学中的伽利略变换：

x'=x－ut　y'=y　z'=z　t'=t

所以，狭义相对论与经典力学并不矛盾，狭义相对论将经典力学扩展到了宏观物体在一切运动速度下的普遍情况，经典力学只是相对论在低速时（v远小于c）的近似情况。一般在处理运动速度不太高的物体时（如天体力学中计算行星的运行轨道），不需考虑到相对论效应，因为用相对论进行处理时计算往往变得非常繁琐，而结果与经典情况相差不大。当处理高速运动的物体时，比如高能加速器中的电子，则必须要考虑相对论效应对结果带来的修正。

基本公理

狭义相对性原理：一切物理定律（力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效；或者说，一切物理定律的方程式在洛伦兹变换下保持数学形式不变。

光速不变原理：单向光速是个常数且与光源的运动无关。换言之，在所有惯性系中，真空中的光速不变。

推导过程

狭义相对论

设想有两个惯性坐标系S系、S'系，S'系的原点O'相对S系的原点O以速率v沿X轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。t、t'分别是S系和S'系时刻。两惯性坐标系重合时，分别开始计时.

若x= 0，则x'+vt' =0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为

x=γ（x'+vt'） (1)

式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子。

引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为

x'=γ（x－vt） (2)

y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即

y'=y (3)

z'=z (4)

把（2）代入（1），解t'得

t'=γt +(1－γ2) x/γv (5)

在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值。

由重合的原点O（O'）发出一束沿X轴正方向的光，设光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变原理，有

X=cT (6)

X'=cT' (7)

相对论的光速不变原理得出：坐标值X等于光速c乘时刻T，坐标值X'等于光速c乘时刻T'。（1）（2）相乘得

xx'=γ2(xx'－x'vt+xvt'－v2tt') (8)

以波前这一事件作为对象，则（8）写成

XX'=γ2(XX'－X'VT+XVT'－V2TT') (9)

（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子

γ= (1－（v/c）2)－1/2 (10)

（10）代入（5），化简得

t'=γ(t－vx/c2) (11)

把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换

x'=γ(x－vt)，

H.A.洛伦兹

z'=z，

t'=γ(t－vx/c2) (12)

根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换

x=γ(x'+vt')，

y=y'，

z=z'，

t=γ(t'+vx'/c2) (13)

洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有结论。

爱因斯坦在1905年提出的狭义相对论（一种新的平直时空理论），出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。理论的核心方程式是洛伦兹变换。狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等，它们已经获得大量实验的直接证明。狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实 。

所有参考系间转换以转换叠加作为乘法组成一个群。它们符合以下公理：

1. 闭合：两个参考系转换叠加得另外一转换。以写K到K'。对于任意三个参考系

= 。

2. 结合律： () = ( ) 。

3. 单位元：存在保留参考系的单位转换 。

4. 逆元：对任何参考系转换 都有返回原本参考系的转换 。

符合群公理的转换矩阵。考虑两个参照系K和K'，K'的原点相对K原点速度为v（设运动方向为Z方向，以下忽略无关的X和Y方向）。出于时空的均匀性，洛伦兹变换必须保留惯性运动，因此它必须是一个线性转换而可以以矩阵表示：

公式

以上Λi j是有待计算的矩阵元，它们是相对速度v的函数。

参考系K'的原点O'在参照系K的运动：

公式

得 Λ21 + vΛ22 = 0

同样参照系K的原点O在参照系K'的运动：

公式

得 Λ21+vΛ11= 0

因此主斜两项相等且可称为γ ≡Λ11= Λ22。还有 Λ21= －vγ ：

公式

因为t' =γt，γ的意义就是时间膨胀的因子。因为时空的各向同性，γ只能取决于速度而不取决于方向。也就是说γ(－v)=γ(v)。群元可逆因此取逆矩阵：

公式

公式

当然逆转换只等同于反方向同速的转换。运用上段γ的性质

公式

公式

每项比较得到：γ2+Λ12vγ= 1

从群的闭合性要求连续两次转换等于以速度和的单次转换，也就是说两个矩阵的积：

公式

公式

必须拥有同样的矩阵型式。这意味着主斜线上两项相等。因此以下比例：

公式

必须是一个和参考系相对速度无关的常数。 插入较前等式得的定义：

γ= (1 +kv2)－1/2

而最广泛的洛伦兹变换矩阵型式为：

公式

这里c2=∣k∣－1就是转换的不变速度。如果k >0，c是一个速度的下限，明显与物理现实不符，因此k≤0。但还可以分成k= 0和k < 0两种情形：

k= 0得伽利略变换矩阵：

公式

在此情况下时间是绝对的：t= t′ 。

在更一般c = (－k)－1/2 小于无穷大的情况就得到洛伦兹变换矩阵：

公式

公式

公式

虽然矢量的坐标在不同坐标系里面不一样，它的长度不变：(x')2+(y')2= (x)2+(y)2 。如果以另外角度φ再旋转一次，那矢量新坐标和原坐标关系为：

公式

即连续的转角可加。

可以相似般把洛伦兹变换看成一种类似的坐标旋转。定义快度w= arctanhβ。那以上洛伦兹变换公式可以写成（略去不受影响的x2和x3）：

公式

也就是说，洛伦兹变换数学上等同于双曲角旋转。此坐标“旋转”中类似“长度”的不变量是：

(x'0)2－(x'1)2= (x0)2－(x1)2 。

也可以用矩阵的语言描述：