连续统假设 编辑

格奥尔格·康托尔提出的猜想

连续统假设连续统假设

1874年格奥尔格·康托尔猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数,这就是著名的连续统假设。它又被称为希尔伯特第一问题,在1900年第二届国际数学家大会上,大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。1938年哥德尔证明了连续统假设和世界公认的ZFC公理系统不矛盾。1963年美国数学家保罗·寇恩证明连续假设和ZFC公理系统是彼此独立的。因此,连续统假设不能在ZFC公理系统内证明其正确性与否。

基本信息

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中文名:连续统假设

外文名:continuum hypothesis

提出者:格奥尔格·康托尔

提出时间:1874年

关键字:ZFC公理系统、可列集基数

应用学科:数学

见载刊物:《数学名词》 科学出版社

公布时间:1993年

定义:数学上关于连续统势的假设

概念

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连续统假设(continuum hypothesis),数学上关于连续统势的假设。常记作CH。该假设是说,无穷集合中,除了整数集的基数,实数集的基数是最小的。

问题的提出

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通常称实数集即直线上点的集合为连续统,而把连续统的势(大小)记作C1。

2000多年来,人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年,G.康托尔证明:任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势,人们才认识到无穷集合也可以比较大小。

自然数集是最小的无穷集合,自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合,它的势比自然数集的势大,比连续统势小?这个问题被称为连续统问题。

康托尔猜想这个问题的解答是否定的,即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势,记作C1;自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。

问题已有解决

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1938年,K.哥德尔证明了CH对ZFC公理系统(见公理集合论)是协调的,1963年,P.J.科恩证明CH对ZFC公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样,在ZFC公理系统中,CH是不可能判定真假的。这是60年代集合论的最大进展之一。然而到了21世纪,前人的结论又开始被动摇了。

康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数,并把它记作2^ℵ0(其中ℵ0读作阿列夫零)。康托尔还把无穷基数按照从小到大的次序排列为ℵ0,ℵ1,…ℵa……其中a为任意序数,康托尔猜想,2^ℵ0=ℵ1。这就是著名的连续统假设(简记CH)。一般来说,对任意序数a,断定2^ℵa=ℵ(a+1)成立,就称为广义连续统假设(简记GCH)。在ZF中,CH和选择公理(简记AC)是互相独立的,但是由GCH可以推出AC。ZF加上可构造性公理(简记V=L)就可以推出GCH,当然也能推出CH和AC。

广义连续统假设

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广义连续统假设(Generalized continuum hypothesis,简称GCH)是指: 若一个无限集A的基数在另一个无限集S与其幂集

之间,则A的基数必定与或其幂集

相同。

CH与GCH都独立于ZFC,不过Sierpiński证明了ZF+GCH可以推导出选择公理,换句话说,不存在ZF+GCH但AC不成立的公设系统。

任何的无限集合A和B,假如存在一个由A到B的单射,那就存在一个由A的子集到B的子集的单射。因此对于任何有限的序数A和B,

假如A和B是有限集合,那我们可以得到更强的不等式:

GCH意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

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