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欧几里得几何 编辑
欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时单指平面上的几何,即平面几何。
中文名:欧几里得几何
外文名:Euclid geometry
作者:欧几里得
详细分类:几何学
简称:欧氏几何
分类:数学
欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设),在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中,又分别称为“平面几何”与“立体几何”。
其中公理五又称之为平行公设(Parallel Postulate),叙述比较复杂,并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯(F. Gauss)的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利人波尔约(Bolyai)阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”(non-Euclidean geometry)。
另一方面,欧几里得几何的五条公理并未具有完备性。例如,该几何中有定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统。
在欧几里德以前,古希腊人已经积累了大量的几何知识,并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理,写下《几何原本》一书,标志着欧氏几何学的建立。这部划时代的著作共分13卷,465个命题。其中有八卷讲述几何学,包含了现今中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要,或者其对诸定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字,共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事,也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来,这部著作在几何教学中一直占据着统治地位,至今其地位也没有被动摇,包括中国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
欧式几何的五条公理是:
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都相等。
5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理(平行公设),可以导出下述命题:
通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不可证的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。
另外五条公理是:
1、等于同量的量彼此相等。
2、等量加等量,其和仍相等。
3、等量减等量,其差仍相等。
4、彼此能够重合的物体是全等的。
5、整体大于部分。
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