数学的一个分支学科，以微积分方法为基本工具，以函数（映射、关系等更丰富的内涵）为主要研究对象，以极限为基本思想的众多数学经典分支及其现代拓展的统称，简称分析。

中文名：分析学

外文名：analysis

含义：分析学和函数论等

基本内容：实分析, 复分析, 泛函分析, 流形 等等

狭义的分析学（analysis）——数学分析

以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容。

广义的分析学（analysis）

极限的概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科的重要思想。微积分是近代数学的基础，已产生许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学。

20世纪初以前，一般将全部数学分为三大基本分支：分析学、代数学和几何学。当然，对于现代数学，已难于做如此的概括。像微分方程和概率论等学科，它们的创立都与分析密切相关，但由于它们各有独特的研究对象，从而发展了各自的庞大系统，不能继续归属于分析学。一般而论，现代分析可分为实分析、复分析和包括泛函分析在内的抽象分析三大部分，它的研究对象已不限于函数，研究方法也日益综合。

分析这个学科名称，大约是由牛顿（Newton）最早引入数学的，因当时微积分被看做代数的扩张，“无穷”的代数，而“分析”与“代数”同义。如今所指虽然更广，但仍只是对所含学科方法上共同特点的概括，而且愈来愈不容易与代数、几何的方法完全分清了。

分析学中最古老和最基本的部分是数学分析。它是在17世纪为了解决当时生产和科学提出的问题，经过许多数学家的努力，最终由牛顿和莱布尼茨（Leibniz）创立的。但是为分析建立严格逻辑基础的工作却迟至19世纪方才完成。此后，数学分析才成为一个完整的数学学科。数学分析是最早系统研究函数的学科，它所研究的虽基本只是一类性质相当好的函数——区间上的连续函数，但无论在理论上或应用方面都有重要意义。在理论方面，数学分析是分析学科的共同基础，也是它们的发源。现代分析的诸多分支中，有一些在其发展初期曾经是数学分析的一部分（例如变分法、傅里叶分析以至复变函数论等），而另一些则是在数学分析的完整体系建立以后，由于各种需要，在对数学分析中的某些问题的深入研究和拓广之中发展起来的，像实变函数论、泛函分析和流形上的分析就属于这种情况。

勒贝格

19世纪末到20世纪初，由于某些数学分支（例如傅里叶分析）和物理等学科发展的需要，不但促使数学分析中函数可积的概念逐步明确，还进一步要求将积分推广到更广的函数类上去，希望积分运算更加灵活方便。同时，在对数学分析中各个基本概念之间的关系的继续探讨中（例如，微分和积分互为逆运算在一般意义上是否成立），人们也感到必须突破数学分析的限制。

20世纪初，由勒贝格（Lebesgue）提出的积分理论有重大意义，而实变函数论的中心内容就是勒贝格积分的理论。作为黎曼积分的推广，勒贝格积分不仅可积函数类广，还具有可数可加性等良好性质，积分号下求极限的条件也较宽松，它的理论已经发展得充分完备，因而更适合数学各分支及物理的需要。由于勒贝格可积函数的空间（函数类）的完备性，使它在数学理论上占据黎曼积分所不可能有的重要地位。实变函数论同数学分析一样，也研究函数的连续性、可微性、可积性这些基本性态，但由于应用了集合论的方法，使它有可能研究一般点集上的函数，从而研究的结果比数学分析更广、更完善。因此，实变函数论也成为分析学各分支（特别是泛函分析等近代分支）的共同基础之一。在关于微分和积分是否互为逆运算的问题上，勒贝格积分的结果就比黎曼积分情形进了一步。但是，为了彻底解决这个问题，后来又有人提出过多种更广的积分理论，例如，当儒瓦积分和佩龙积分，最后由广义当儒瓦积分（1916年）对前述问题作了肯定的回答。然而，这些积分除了在特定的理论问题上有重要意义外，远不如勒贝格积分普遍适用。勒贝格积分建立在勒贝格测度的基础之上，后者向抽象方面进一步发展，又促使对于测度的系统研究形成独立的学科，这就是测度论。测度是面积、体积概念的推广，它和积分概念始终紧密相联，测度论的思想和理论在现代分析中是十分重要和很有用的。

写满公式的纸

分析学的诸多经典分支，或分析学各学科的经典部分中，数学分析、单复变函数论和实变函数论具有基础性质，它们全面研究所论函数的基本性态。除此以外，它的大多数分支主要从某个侧面去研究函数。例如，调和分析主要研究函数用傅里叶级数（或傅里叶变换）表示的问题，并利用这种表示去研究函数的性态。事实证明，这是研究函数重要而有效的途径，它的思想和方法在许多数学分支中用到。函数逼近论研究用某些性质良好的函数逼近一般函数的可能性及误差（逼近阶）等性质，以及反过来用这些性质去刻画函数。凸分析主要研究一类重要的非线性函数——凸函数。经典的变分法研究泛函的极值问题，这里的泛函一般限于含有变元函数的积分，因此也可以说它还是研究函数的。如今这些以函数为主要对象的经典学科，仍然是分析学的重要组成部分。

交错群A_5的一个Cayley图（一种群的图示）

分析学的各经典学科多形成于17至19世纪之间，但除去数学分析、单复变函数论和实变函数论的基础内容已基本定型之外，其他的都在不断拓展它们的研究领域。象调和分析是从一元函数的傅里叶级数理论发展起来的，原来也称为傅里叶分析，但现今它的主要内容却是多元（函数的）调和分析和群上的调和分析（抽象调和分析），从研究的问题到方法上都有很大变化。在一些问题中，傅里叶变换逐渐被别的由它演变来的更有力的工具替代，因而很难继续用后一名称来概括它的全部内容。函数逼近论在初期主要讨论用代数的或三角的多项式逼近连续函数的有关问题，而现今所考虑的作为逼近工具的特殊函数和被逼近函数的类型都丰富多了。从这些学科的发展中可以看到，它们的研究对象正随之发生变化。与其说它们研究的仍然是函数，不如说主要是某些函数空间（函数类）和算子（变换）更为恰当，有关研究已推广到了群、流形或其他抽象的基域上。位势论的发展有类似的情况。经典的位势论研究牛顿位势（一类偏微分方程边值问题的积分形式的解），而现代位势论中所讨论的一般位势，实质上与牛顿位势相似，无非是关于某种测度对适当的核的特殊积分算子。群上的位势论也正在发展。对诸如此类的空间及算子抽象、系统的研究属于泛函分析。它是20世纪初发展起来的学科，是经典分析在近代的拓展。

另一个新的分析学科是流形上的分析，一般认为它在20世纪中期才形成独立分支。它研究定义在流形上的函数，而流形上一般没有统一坐标，只在每点存在与欧氏空间中的开集同胚的邻域，因此，流形上的局部分析与经典的欧氏空间的分析相仿，整体分析则复杂得多，流形上的分析指的就是后者（或称大范围分析）。它可以在流形这个全新背景之下，研究与各个经典分析学科相应的问题，是经典分析的现代拓展。例如，大范围变分法充实了大范围分析的内容，它既是变分法的现代发展，又可以看做流形上的分析的一部分。由于流形上的函数的性态与流形本身的几何、拓扑性质密切相关，从而可以认为，流形上的分析是分析学与几何、拓扑、代数互相综合的产物。这也反映了现代数学发展的特点。

戈弗雷·哈罗德·哈代

各学科密切联系、相互渗透与综合是现代数学发展的重要特点。现代分析学的发展，除了依靠本身的基础之外，特别吸收和利用了集合论、代数以及拓扑的思想和方法。已经提到的泛函分析和流形上的分析的形成和发展就是如此。再如，抽象调和分析和大范围变分法等，它们的基本问题还属于经典分析的推广，可是方法上完全离不开代数和拓扑，并都已形成独立的分支。离散化的方法在分析中用得越来越多，一些抽象代数的概念和理论被用到过去与它无缘的分析问题中。至于分析学内部各学科的结合就更多了，特别是泛函分析与其他经典学科的结合，现时已很平常。广义函数论已普遍成为许多经典分析领域的研究工具。前面提到过调和分析等学科对某些函数空间及算子的研究，这方面问题的提法和研究方法都有很多借鉴于泛函分析，并依赖于算子论的成果，又有各自的特点，代表了各自的发展方向，从而对泛函分析也是补充和发展。

其次，实分析与复分析的结合，也很引人注目。哈代空间理论的发展，可以作为这方面的典型例子。在20世纪初，它完全是复变函数论的一部分，20世纪60年代以后，在此基础上发展了多元哈代空间的实变理论，这又促进了多复变函数论在这方面的研究。分析学还与其他许多数学学科在内容上有复杂的交叉，思想和方法上联系密切。其中一些是长期存在而又有所发展的，如调和分析、变分法、位势论与微分方程的关系，而新近的则如调和分析、位势论与概率论的联系都是很突出的例子，这对双方学科的发展都很有影响。这类相互间的联系、渗透和综合已经十分普遍和深入，这就使得分析学的研究者，或者只想学习和了解现代分析的人，都应有多方面的数学知识基础。

冯·诺依曼

分析学属基础数学范畴。作为纯粹数学学科，分析学的发展虽不以在科学技术中的应用为直接目的，然而随着时代的发展，很多抽象的数学概念和理论都在物理以及现代科技中找到实际背景或应用。微积分的创立，本来就有物理方面的源泉，所以分析学与物理的紧密联系从牛顿时代就开始了。以后在不同时代建立的一些分析学科（如变分法、位势论等）发展了这种关系。现代分析中对于某些算子的研究以及流形上的分析理论等在物理中的应用就更深入了。同时，电子计算机的发展不仅扩大了数学的应用范围，另一方面，而且也为数学理论研究提供了有力工具。在分析学方面，函数逼近论的某些方向（如样条函数逼近等）曾显得十分活跃，就因为它在与计算机相联系的计算数学中有广泛的应用。又由于计算机使许多最优化问题有可能实际求解，进而推动了变分法和凸分析的某些方向的发展。傅里叶分析在图象和信号处理的应用中，一直是重要的工具，现时发展起来的小波分析借助于计算机，在许多科学分支（如天体物理和地球物理等）中得到更广泛的应用。其实，计算机对数学的影响，决不限于某些应用及与它直接相关的理论方面。计算机的发展已直接影响到数学教学，并将进一步影响到整个数学的发展。现时由于机器证明有新的突破，人们日益注目于数学推理的构造性以及数学的机械化，这对于分析学这样的纯粹数学学科，无例外地将有越来越大的影响。

总之，分析学自微积分创立以来，历经三百余年的发展，形成一个庞大的分支体系。它影响和改变了整个数学的面貌。在现代科学技术的推动下，分析学仍在蓬勃地向前发展。