数学哲学是指研究数学理论、概念及数学发展中哲学问题的学科，是对数学的哲学概括和总结。是哲学与数学相互联系和渗透的交叉学科。它是对数学的哲学总结。其萌芽可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派。

中文名：数学哲学

外文名：philosophy of mathematics

研究内容：重研究数学的对象、性质等

建立时间：19世纪中叶

代表人物：罗素、布劳尔、希尔伯特等

学科：自然辩证法

古希腊的毕达哥拉斯学派可为数学哲学的鼻祖。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580～前500年）认为，万物的本质不是物质，而是抽象的数。17世纪初，法国的哲学家、数学家笛卡尔（Rent Descartes，1596~1 650年）创立了解析几何，认为如果从不可怀疑和确定的原理出发，用类似数学的方法进行论证，则可把自然界的一切显著特征演绎出来。英国人牛顿（Isaac Newton，1642～1727年）和德国人莱布尼兹（1646~1716年）创立了微积分，使数学发展成为研究无限的科学。马克思和恩格斯先后在《数学手稿》和《自然辩证法》中运用唯物辩证法研究数学问题，对数学哲学的许多问题作出重大发展。

从毕达哥拉斯到康德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想，但作为专门学科直到19世纪中叶以后才逐渐建立起来。着重研究数学的对象、性质、特点、地位与作用；数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；著名数学家和数学流派的数学和哲学思想；数学方法和数学基础等问题。现代数学哲学的研究内容包括：数学基础的研究，形成罗素的逻辑主义、布劳尔的直觉主义和希尔伯特的形式主义等流派；数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在；数学真理性的研究等。

数学哲学的研究内容主要有：

①数学与现实世界，数学理论与实践发展的关系问题；

②数学概念及数学运算中的辩证关系，数学概念发展的内在逻辑；

③数学范畴的辩证统一关系，’如常量与变量、有限与无限、直线与曲线、连续与间断等相互联系、相互转化的关系。

由于哲学立场的不同，在数学基础的现代研究中逐渐形成了逻辑主义、直觉主义等学派。作为其数学哲学思想的体现，这些学派又都提出了数学基础研究的具体规划。

逻辑主义

逻辑学派的主要代表是罗素和弗雷格，其基本思想在罗素1903年发表的《数学原理》（The Principles of Mathematics）中有大概轮廓，罗素后来与怀特黑德（A.Whitehead，1861～1947）合著的三大卷《数学原理》（Principia Mathematicas，1910～1913）是逻辑学派的权威性论述，按照逻辑主义的观点：数学乃逻辑的一个分支，逻辑不仅是数学的工具，逻辑还成为数学的祖师，所有数学的概念要用逻辑概念的术语来表达，所有数学定理要作为逻辑的定理被推演。至于逻辑的展开，则是依靠公理化的方法进行，即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系。为了避免悖论，罗素创造了一套“类型论”，类型论将对象区分为不同的层次，处于最低层的是0类型的对象，属0类型的元素构成I型不同的对象，I类型的元素构成Ⅱ类型的元素，如此等等，在应用类型的理论中，必须始终贯彻如下的原则：一定类的所有元素必须属于同一类型，类相对于其自身成员是高一级类型的对象，这样集合本身就不能是它自己的成员，类型论避免了集合论悖论的产生。在《数学原理》中还有各种等级内的各种等级，导致所谓“盘根错节”的“类理论”，为了得到建立分析所需要的非断言定义，必须引进“可化归性公理”，该公理的非原始性和随意性引起严重的批评，可化归性公理被指出是非逻辑公理而不符合将数学化归为逻辑的初衷，按类型论建立数学开展起来极为复杂。事实上，罗素和怀特黑德的体系一直是未完成的，在很多细节上是不清楚的。

直觉主义

直觉主义学派的主要代表人物是荷兰数学家布劳尔（L.E.Brouwer，1881—1966），布劳尔1907年在他的博士论文《论数学基础》中搭建了直觉主义数学的框架，1912年以后又大大发展了这方面的理论，直觉主义学派的基本思想是数学独立于逻辑，认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断，基本的直观是按时间顺序出现的感觉。例如，由于无限反复，头脑中形成了一个接一个的自然数概念，一个接一个，无限下去。这是可以承认的（哲学上称为潜无限），因为人们认为时间不是有限的，可以一直持续下去，但永远达不到无限（即实无限）。所谓“全体实数”是不可接受的概念，“一切集合的集合”之类更是不能用直观解释的，因而不承认集合的合理性，“悖论”自然也就不会产生了。

形式主义

形式主义学派的代表人物是希尔伯特，希尔伯特于1899年写了一本《几何基础》，在其中，曾把欧几里得的素材公理到当代的形式公理的数学方法深刻化。在集合论悖论出现之后，希尔伯特没有气馁，而是奋起保卫“无穷”，支持康托尔反对克罗内克，给纯粹性证明打气。为了解决集合论悸论，希尔伯特指出，只要证明了数学理论的无矛盾性，那么悖论自然就永远被排除了。在1922年汉堡一次会议上，希尔伯特提出了数学基础研究规划，这就是首先将数学理论组织成形式系统。然后，再用有限的方法证明这一系统的无矛盾性。这里所说的形式系统就是形式公理化，所谓的一个数学理论的形式公理化，就是要纯化掉数学对象的一切与形式无关的内容和解释，使数学能从一组公理出发，构成一个纯形式的演绎系统。在这个系统中那些作为出发点的命题就是公理或基本假设，而其余一切命题或定理都能遵循某些假定形式规则与符号逻辑法则，逐个地推演出来。

形式主义者认为：无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中只要能够证明该公理系统是相容的、独立的和完备的，该公理系统便获得承认，该公理系统便代表一种真理，悖论是不相容的一种表现。