方程式是数学中很普通的概念。如果方程式含有一个以上的未知数时，就有一个以上的方程式。有几个未知数就须有几个方程式，这样方程式中的各个未知数才能有确定的数值解。这些方程式联合起来组成一组，叫联立方程式。联立方程式可表示多种事物之间的复杂关系，在生产和科研中有着广泛的应用。

九章算术

《九章算术》一书在我国和世界上最早列出了联立方程式。约成书于公元纪元前后的《九章算术》，其第八章“方程”中专门谈到了联立方程式。书中所列的方程，未知数不用符号表示，而是用算筹自上而下罗列各项系数，常数项列于最下，完成一行。二元者，列二行；三元者，列三行。由于算筹的排列方式形如方阵，故称“方程”。“方程”章介绍了联立一次方程式的消元解法。以该章第一题为例：“今有上禾三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，实（谷米）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗，上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”这相当于现代求解下列三元一次联立方程式：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

每一个方程中都包含着三个未知数，利用消元的原理依次削减方程中未知数的数目，使之减为二个、一个，就可以求得所需的结果。这和现代代数学中通用的方法实质上是一样的。

公元13世纪，我国数学家又发明了一种列方程的方法——天元术，用“天”、“地”两字表示不同的未知数，可解二元高次联立方程式。元朝朱世杰所著《四元玉鉴》中的四元术，是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。四元术用四元消法解题，条理分明。

公元5世纪后，印度数学家才能解一次联立方程式。在西方，公元16世纪后才有讨论一次联立方程式的数学书。至于解高次联立方程式，则更是以后的事情了。

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│Ⅰ　Ⅱ　Ⅲ 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗

│Ⅱ　Ⅲ　Ⅱ 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗

│Ⅲ　Ⅰ　Ⅰ 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

│〓〓〓　 问上中下禾实一秉各几何？