代数数论，是数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。

公式1

代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n+y^n=z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。 经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明，L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数，人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根代数数论把方程 x^n+y^n=z^n写成（公式1）代数数论，他以为在分圆域代数数论中， “整数”也象普通整数一样，可以唯一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中， “整数”分解成素数的乘积不具有唯一性。这个发现使库默尔引入“理想数”的概念，他随之证明了每个“理想数”可以唯一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。

公式4

公式3

C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。

公式5

有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=【K:Q】就是指K作为Q上线性空间的维数。 K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式（公式2）的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1（即α0=1）的整系数多项式(1)为零，那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法（公式3）。

公式6

即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想，就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中，每个非零理想A都可以唯一地分解成素理想的乘积，即A=P1P2…Pt，其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。在通常的整数环Z中，每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。

公式7

OK的全体非零理想组成一乘法半群，OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模，那么A 就称为一分式理想。显然，理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想，它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明，K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群，而且每个分式理想A 都可以唯一地表成素理想方幂的乘积（公式4）这个群称为K的理想群，记为IK。

公式8

环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的（公式5）

公式9

其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群，而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想（公式6）CK称为K的理想类群，其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类，当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是：CK为一有限阿贝尔群，hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解唯一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，一个值得注意的进展是 Heegner最先证明了（公式7）它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个被业界称为Heegner 数。

公式10

正合列（2）的另一端是单位群UK，它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群，VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群，r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。

设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,（公式8）且OL为OK的一个有限生成模。

公式11

如果OL是OK上一自由模（秩一定是l），那么在OL中就有l个元素r1，r2，…，rl构成OL的一组基，即（公式9）这样的元素组r1,r2,…，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时，由主理想环上有限生成模的结构定理可知，OL对于OK一定有整基。特别地，代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。

设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解（公式10）

公式12

因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令（公式11）它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有（公式12）

如果在(3)中有某个ei>1，即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧，而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。

公式13

判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl，可知det│Tr（vi,vj）│=0的充分必要条件是v1，v2,…,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，…，vl，作（公式13）对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，…，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K)，它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧，当且仅当P|Δ(L/K)。由此可知，K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是：Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明，有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。

公式14

在L中定义C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想，且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q|δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。

研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。

设L/K是一伽罗瓦扩张，g=g（L/K）是伽罗瓦群。可以证明，在分解式（3）中，素理想Q1，Q2，…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有即对于OK中素理想P有代数数论代数数论且Q1,Q2，…,Qg有相同的剩余次数ƒ。公式(4) 就成为l=eƒg。 令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即代数数论代数数论，显然【g:D1】=g，|D1|=eƒ。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖 的一个自同构。可以证明，代数数论是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，【D1:K1】=ƒ，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki， 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时，代数数论因噖、岧是有限域。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域代数数论是L的一个最大的域，P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。

对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果，即所谓类域论。

代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处，不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败， 如二次域Z 中，6就不是唯一分解。

OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环

O的唯一因子分解和OK素理想间关系：

OK元素的唯一分解可能成立：这时OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一个戴德金整环）。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后，整数环Z中素数就能生成Z素理想（其实，Z的每一个素理想（p）的形式是：pZ）可同一素数在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整环中，理想2Z不再是素理想，

但理想3Z是一个素理想。高斯整环唯一因子分解完整的答案使用费尔马大定理，其结果为：

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时（即阿贝尔群的伽罗瓦扩张）类域论实现了这一目标。

（根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同。）

在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下：

运算为通常的绝对值函数|·|，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数|·|p: 定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由奥斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic绝对赋值对Q是等价类,p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，代数数域K的绝对赋值称为一个素点places。K中素元分两类：像p-adic绝对赋值|·|p这种等价类是有限的，被称为有限素元（有限素点）。而通过复域C的模|·|方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限素元（或无限点）。因此，一般表示Q的素元集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下|·|∞是有理域Q的素元（素点）。

K的无限素元可有嵌入同态K→C（即非零的环同态，从K到C）。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个子集S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ：K→R，对应唯一一个和通常绝对值一样的绝对赋值；这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元（或实素点）。S2的一个嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模：|z| = |z| 。这样的素元叫一个复素元（或复素点）。这样无限素元的集合的描述如下：每个无限素元对应到一个唯一的。