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圆心圆心

圆心是圆的中心,即到圆的边缘距离都相等且与圆在同一个平面的点。

名称的起源

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圆心即圆的中心。1607年,在利玛窦和徐光启合译的《几何原本》(卷一)中,将圆心写作“圜心”。“圆心”这种写法出现在后,如1857年伟烈亚力编《六合丛谈》十:“地必不在中心也,如图,甲乙丙丁平圆为太阳道,戊为地球心,己为圆心。”1859年艾约瑟译《重学》卷十一:“午为圆心,午子诸线为半径,圆心以地心速下行,与各物下行同半径以平速渐长。设抛物方向不在一个面上,则历若干秒各物俱在立圆周。”1873年丁韪良等《中西闻见录》第8号:“法平分甲乙丙三角作线抵各边交于丁,即丁为容圆心,乃以每角甲乙丙点各为心,丁为界,运规度至两边。”

定义

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平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,其中定点是圆心,如图1中的O点,定长是圆的半径。

圆是一种特殊的曲线,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心,而且一个圆绕圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。

图1图1

相关概念

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(1)连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径;直径是最大的弦,它的长是半径的2倍 。

(2)弦到圆心的距离叫做弦心距。

(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧;任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆。

(4)圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;圆心不相同,半径相等的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,等弧不只是指弧的长度相等,还应包括弧的弯曲程度(曲率)相同,因此,在不等的圆中不存在相等的弧。

(5)顶点在圆心的角叫圆心角,在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是:

圆心角等

%20所对的弧等

%20所对弦等

%20弦心距相等。

小于180°的圆心角大

%20所对的劣弧大

%20所对的弦大

%20弦心距小。

当角的度数与弧的度数相等时,不能说角与弧相等,只能说他们的度数相等,因此不能出现

%20这样的式子。“圆心角相等,则所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中,如图2,

%20与

%20所对的圆心角相等,它们的度数也相等,但弧的长度不等。%20

图2

(6)顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等;半圆所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

(7)顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角叫做弦切角。圆周角与弦切角的顶点都在圆上,圆周角的两边都是过顶点的弦,而弦切角的一条边是过顶点的弦,另一条边是过顶点的切线.弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半,两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等。

在解与圆有关的问题时,常常过半径或直径的端点做圆的切线,造出弦切角,找出等量关系 。

判断点和圆的位置关系

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圆是一条封闭曲线,一个圆把平面上所有的点分成圆内的点、圆上的点、圆外的点三种点的集合,并有:

圆内的点

与圆心的距离小于半径的点;

圆上的点

与圆心的距离等于半径的点;

圆外的点

与圆心的距离大于半径的点 。

确定一个圆的基本条件

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(1)确定一个圆必须确定圆心、半径,圆心可确定圆的位置,半径可确定圆的大小;

(2)不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆,这个圆的圆心叫做三角形的外心,三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点,这个三角形叫做这个圆的内接三角形 。

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