正弦（sine），数学术语，是三角函数的一种，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比，叫作∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

古代说法，正弦是股与弦的比例。

中文名：正弦

外文名：sine

所属学科：数学

属性：数学术语

定义：对边与斜边的比

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角三角形的两条直角边。

图1

正弦=股长/弦长

勾、股、弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式：

sin = 直角三角形的对边/斜边.

如图1，斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r

无论a，y，r为何值，正弦值恒大于等于0小于等于1，即0≤sin≤1。

sinx°函数图像

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA

即tanA=角A的对边/角A的邻边

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA

即sinA=角A的对边/角A的斜边

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的余弦，记作cosA

即cosA=角A的邻边/角A的斜边

一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v=sinα。通常，用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为。

表达式：f(x)=Asin(ωx+φ)

平方和关系

积的关系

sinα%20=%20tanα%20×%20cosα（即sinα%20/%20cosα%20=%20tanα）

cosα%20=%20cotα%20×%20sinα%20（即cosα%20/%20sinα%20=%20cotα）

tanα%20=%20sinα%20×%20secα%20(即%20tanα%20/%20sinα%20=%20secα)

倒数关系

tanα%20×%20cotα%20=%201

sinα%20×%20cscα%20=%201

cosα%20×%20secα%20=%201

商的关系

sinα%20/%20cosα%20=%20tanα%20=%20secα%20/%20cscα

和角公式

sin%20(%20α%20±%20β%20)%20=%20sinα%20·%20cosβ%20±%20cosα%20·%20sinβ

sin%20(%20α%20+%20β%20+%20γ%20)%20=%20sinα%20·%20cosβ%20·%20cosγ%20+%20cosα%20·%20sinβ%20·%20cosγ%20+%20cosα%20·%20cosβ%20·%20sinγ%20-%20sinα%20·%20sinβ%20·%20sinγ

cos%20(%20α%20±%20β%20)%20=%20cosα%20cosβ%20∓%20sinβ%20sinα

tan%20(%20α%20±%20β%20)%20=%20(%20tanα%20±%20tanβ%20)%20/%20(%201%20∓%20tanα%20tanβ%20)

倍角半角公式

sin%20(%202α%20)%20=%202sinα%20·%20cosα%20

sin%20(%203α%20)%20=%203sinα%20-%204sin3%20(%20α%20)%20=%204sinα%20·%20sin%20(%2060%20+%20α%20)%20sin%20(%2060%20-%20α%20)

由泰勒级数得出

sinx%20=%20%20/%20(%202i%20)

级数展开

sin%20x%20=%20x%20-%20x3%20/%203!%20+%20x5%20/%205!%20-%20...%20(%20-%201%20)%20k%20-%201%20*%20x%202%20k%20-%201%20/%20(%202k%20-%201%20)%20!%20+%20...%20(%20-%20∞%20<%20x%20<%20∞%20)

导数

(sinx)'%20=%20cosx

(cosx)'%20=%20﹣%20sinx

特定正弦函数与椭圆的关系

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到

f(c)=r%20tanα%20sin(c/r)

r：圆柱半径

α：椭圆所在面与水平面的角度

c：对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r%20tanα%20sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。

三角形

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即

（r为外接圆半径，D为直径）。

早在公元2世纪，正弦定理已想为古希腊天文学家托勒密(C．Ptolemy)所知。中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj，973一1048)也知道该定理。但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲，犹太数学家热尔松在其《正弦、弦与弧》中陈述了该定理：“在一切三角形中，一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”，但他没有给出清晰的证明。15世纪，德国数学家雷格蒙塔努斯在《论各种三角形》中给出了正弦定理，但简化了纳绥尔丁的证明。1571年，法国数学家韦达(F．Viete，1540一1603)在其《数学法则》中用新的方法证明了正弦定理。之后，德国数学家毕蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《三角学》中沿用韦达的方法来证明正弦定理%20。

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于%201%20查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数k。

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程：

这就是正弦的微分方程定义。

用其他三角函数的表示

两角和的正弦

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

和差化积公式

万能公式

正弦函数的拉普拉斯变换为：